Il corso
Il corso propone un gran numero di esercizi risolti riguardo integrali generalizzati e serie. Si distinguono due grandi blocchi. Nella prima parte si trattano gli integrali generalizzati. Si parte rimuovendo l’ipotesi di limitatezza della funzione integranda, trattando il caso di integrali generalizzati al finito. Prima si calcolano alcuni integrali con la definizione, poi si studiano integrali generalizzati al finito attraverso opportuni criteri di integrabilità. Si conclude con esercizi riguardanti integrali generalizzati in dipendenza da un parametro.
Si ripete lo stesso percorso per integrali su domini illimitati: prima si parte dalla definizione, poi ci si dedica allo studio di integrali con l’ausilio di opportuni criteri e infine si trattano integrali dipendenti da un parametro.
Nella seconda parte si trattano le serie. Si parte dal calcolo di somme di serie campione, come per esempio le serie geometriche, poi si sviluppa nel dettaglio l’uso della condizione necessaria di convergenza per serie numeriche. In seguito si studia la convergenza di serie sia a termini positivi che a termini di segno qualunque, attraverso opportuni criteri. Un buon numero di esercizi riguarda anche implicazioni di cui si dovrà stabilire il valore di verità, esibendo in caso opportuni controesempi. Si conclude con lo studio di serie in dipendenza da un parametro.
Risultati attesi
- distinguere un integrale generalizzato da un integrale “classico” (secondo Riemann) di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato;
- calcolare integrali generalizzati al finito o su domini illimitati con la definizione;
- applicare i criteri di integrabilità al finito o su domini illimitati per distinguere i vari comportamenti degli integrali generalizzati;
- calcolare somme di serie notevoli (per esempio serie geometriche);
- applicare correttamente la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica;
- discernere i vari comportamenti delle serie a termini non negativi o di serie a termini qualunque attraverso l’applicazione di opportuni criteri;
- studiare il comportamento di serie e integrali al variare di un parametro reale dato.
Requisiti
Si richiede una conoscenza di matematica di base dalle scuole superiori (in particolare, disequazioni, trigonometria, funzioni esponenziali e logaritmiche) e conoscenze di base di un corso di Analisi 1 (in particolare: successioni e loro limiti, limiti di funzioni, derivate, integrali indefiniti e definiti).
Libri di testo e letture consigliate
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore.
Formato del Corso
Il corso è strutturato in video lezioni affiancate da due forum (in almeno uno dei quali si prevede la partecipazione attiva del docente) e complementate da diversi esercizi di autovalutazione.
Regole per l'ottenimento degli Attestati e per sostenere gli Esami
Attestato di Partecipazione
È possibile ottenere l'Attestato di partecipazione e il Badge completando le prove di valutazione presenti nel corso (è necessario superare i questionari con un punteggio pari a 18/30 per ciascuna sezione).
Integrali generalizzati di funzioni non limitate
Lezioni
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Definizione di integrale generalizzato. Calcolo di integrali generalizzati al finito con la definizione - prima parte (9'57")
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Calcolo di integrali generalizzati al finito con la definizione - seconda parte (8'17")
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Criteri di integrabilità al finito (5'48")
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Calcolo di integrali con i criteri di integrabilità al finito - prima parte (5'29")
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Calcolo di integrali con i criteri di integrabilità al finito - seconda parte (6'39")
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Calcolo di integrali con i criteri di integrabilità al finito - terza parte (7'34")
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Calcolo di integrali con i criteri di integrabilità al finito - quarta parte (7'37")
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Calcolo di integrali con i criteri di integrabilità al finito - quinta parte (8'07")
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Integrali generalizzati su intervalli illimitati
Lezioni
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Definizione di integrale generalizzato su intervalli illimitati. Calcolo di integrali generalizzati all'infinito con la definizione - prima parte (12'37")
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Calcolo di integrali generalizzati all'infinito con la definizione - seconda parte (8'37")
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Calcolo di integrali generalizzati all'infinito con la definizione - terza parte (9'44")
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Criteri di integrabilità all'infinito. Calcolo di integrali generalizzati con i criteri di integrabilità all'infinito - prima parte (13'02")
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Calcolo di integrali generalizzati con i criteri di integrabilità all'infinito - seconda parte (11'53")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati su intervalli illimitati - prima parte (10'35")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati su intervalli illimitati - seconda parte (12'31")
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Integrali generalizzati: esercizi di riepilogo
Lezioni
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - prima parte (12'36")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - seconda parte (9'25")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - terza parte (11'02")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - quarta parte (11'26")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - quinta parte (7'25")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - sesta parte (14'21")
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Esercizi di riepilogo su integrali generalizzati - settima parte (6'34")
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Serie: definizione e primi esempi. Sulla condizione necessaria
Lezioni
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Definizione di serie e primi esempi (13'07")
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Calcolo esplicito di serie (8'42")
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Serie riconducibili a serie geometriche (11'13")
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Sulla condizione necessaria - prima parte (10'15")
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Sulla condizione necessaria - seconda parte (9'48")
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Serie a termini non negativi: i criteri
Lezioni
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Criterio del confronto e del confronto asintotico - prima parte (11'39")
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Criterio del confronto e del confronto asintotico - seconda parte (10'25")
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Criterio del confronto e del confronto asintotico - terza parte (11'52")
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Criterio del confronto e del confronto asintotico - quarta parte (7'06")
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Criterio del rapporto e della radice - prima parte (5'26")
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Criterio del rapporto e della radice - seconda parte (8'33")
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Criterio del rapporto e della radice - terza parte (6'31)
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Criterio del confronto serie-integrale (9'23")
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Esercizi di riepilogo - prima parte (9'31")
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Esercizi di riepilogo - seconda parte (8'24")
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Serie a termini di segno qualunque
Lezioni
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Criteri per serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta (13'02")
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Criteri per serie a termini di segno qualunque: criterio di Leibniz - prima parte (9'23")
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Criteri per serie a termini di segno qualunque: criterio di Leibniz - seconda parte (15'51")
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Esercizi di riepilogo - prima parte (9'40")
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Esercizi di riepilogo - seconda parte (10'43")
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Esercizi di riepilogo - terza parte (6'36")
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Serie dipendenti da un parametro
Lezioni
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Serie dipendenti da un parametro - prima parte (12'04")
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Serie dipendenti da un parametro - seconda parte (12'04")
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Lezioni
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Vero o falso? - prima parte (6'53")
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Vero o falso? - seconda parte (9'39")
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Vero o falso? - terza parte (10'45")
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Vero o falso? - quarta parte (7'49")
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Esercizi di riepilogo sulle serie
Lezioni
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Esercizi di riepilogo - prima parte (10'57")
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Esercizi di riepilogo - seconda parte (12'49")
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Esercizi di riepilogo - terza parte (10'57")
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Esercizi di riepilogo - quarta parte (11'50")
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Esercizi di riepilogo - quinta parte (11'48")
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Esercizi di riepilogo - sesta parte (7'59")
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Esercizi di riepilogo - settima parte (9'45")
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Esercizi di riepilogo - ottava parte (7'25")
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Esercizi di riepilogo - nona parte (9'44")
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Esercizi di riepilogo - decima parte (9'39")
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Esercizi di riepilogo - undicesima parte (9'45")
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Esercizi di riepilogo - dodicesima parte (11'46")
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Esercizi di riepilogo - tredicesima parte (7'29")
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About the Course 
